| A remark on Smith's determinan |
| کد مقاله : 1077-SLAA10 |
| نویسندگان |
|
مهدی حسنی * گروه ریاضی، دانشکده علوم، دانشگاه زنجان، زنجان، ایران |
| چکیده مقاله |
| In this paper we obtain a full asymptoti expansion for the logarithm of the generalized Smith's determinant $\Delta_k(n)=\det\left[(\gcd(i,j))^k\right]_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ where $\gcd(i,j)$ denotes the greatest common divisor of $i$ and $j$. For any integer $k\geqslant 2$ we obtain the following Stirling type approximation \[ \Delta_k(n)=\left(\frac{n}{e}\right)^{kn}\,\beta_k^n\,\sqrt{(2\pi n)^k}\left(1+O\Big(\frac{1}{n}\Big)\right), \] where $\beta_k$ is an absolute constant defined by \[ \beta_k=\prod_{p}\left(1-\frac{1}{p^k}\right)^\frac{1}{p}, \] and $p$ runs over all primes. |
| کلیدواژه ها |
| Determinants, Arithmetic functions, Prim Numbers |
| وضعیت: پذیرفته شده مشروط برای ارائه به صورت پوستر |